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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
d) f(x)=1−x2x+3f(x)=\frac{1-x}{2 x+3}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso tenemos que pedir que 2x+3≠02x+3 \neq 0. Despejando, llegamos a la conclusión que el dominio de ff es R−{−32}\mathbb{R} -\{-\frac{3}{2} \}

2) Derivamos f(x)f(x)

Usamos regla del cociente:

f′(x)=−1(2x+3)−(1−x)2(2x+3)2=−2x−3−2+2x(2x+3)2=−5(2x+3)2 f'(x) = \frac{-1(2x+3) - (1-x)2}{(2x+3)^2} = \frac{-2x-3 -2 + 2x}{(2x+3)^2} = \frac{-5}{(2x+3)^2}

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

−5(2x+3)2=0\frac{-5}{(2x+3)^2} = 0

Esta expresión nunca vale cero. Por lo tanto, no tenemos puntos críticos.

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,−32) (-\infty, -\frac{3}{2}) b) (−32,+∞) (-\frac{3}{2}, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

Acá podés evaluar el signo de f′(x)f'(x) en cada intervalo, como venimos haciendo, pero fijate que si mirás con atención la expresión de f′(x)f'(x) te vas a dar cuenta que siempre es negativa. Por lo tanto, ff es siempre decreciente en su dominio.

Entonces, recapitulando:

Intervalo de crecimiento: ∅\emptyset

Intervalo de decrecimiento: (−∞,−32)∪ (−32,+∞)(-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, +\infty)
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